ベクトルは、以下の公理を満たすものなのて、関数もベクトルだということができます。

公理	条件
加法の結合律	$u + (v + w) = (u + v) + w$
加法の可換律	$u + v = v + u$
加法単位元の存在	零ベクトル $0 ∈ V が存在して、全ての v ∈ V において v + 0 = v を満たす。$
加法逆元の存在	$各ベクトル v ∈ V に、加法逆元 −v ∈ V が存在して、<BR> v + (−v) = 0 とできる。$
加法に対するスカラー乗法の分配律	$a(u + v) = au + av$
体の加法に対するスカラー乗法の分配律	$(a + b)v = av + bv$
体の乗法とスカラー乗法の両立条件	$a(bv) = (ab)v [nb 2]$
スカラー乗法の単位元の存在	$1v = v （左辺の 1 は F の乗法単位元）$

普通のベクトル

$$r=\left(\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right)$$ は、

$$e_1=\left( \begin{array}{c}1 \\0\end{array}\right)$$ $$e_2=\left( \begin{array}{c}0 \\1\end{array}\right)$$

とう基底を使うと、 $$r=xe_1+ye_2$$ と書けます。

同様に、

$区間(a,b)で定義される関数\psi_1 (x), \psi_2 (x)が，正規直交基底 \{ \phi_i (x) \}の線形結合で表されるていると、$

$$\psi_1(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_i\phi_i(x) $$ $$\psi_2(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\beta_i\phi_i(x)$$

このときの $\psi_1(x), \psi_2(x)$ の内積は、以下の通りとなります。

$$\left\langle\psi_{1}(x), \psi_{2}(x)\right\rangle$$

$$\left\langle\psi_{1}(x), \psi_{2}(x)\right\rangle=\int_{a}^{b} \psi_{1}^{*}(x) \psi_{2}(x) d x=\left(\alpha_{1}^{*}, \alpha_{2}^{*} \ldots\right)\left(\begin{array}{c}\beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \end{array}\right)$$

ここで、ケットベクトル $|\psi_2\rangle$を、以下のように定義すると、

$$|\psi_2\rangle = \left( \begin{array}{c}\beta_1 \\ \beta_2\\ \vdots\end{array}\right)$$

ブラベクトル $\langle \psi_1|$を、以下のように定義すると、

$$\langle\psi_1|=(\alpha_1^*,\alpha_2^*,\ldots)$$

このブラベクトルは、ケットベクトルを転地して、共役を取ったもので、$\dagger$で表されます。

$$\langle \psi_1|=|\psi_1\rangle^\dagger$$

内積は、ブラとケットを用いて、以下のように表せます。

$$ \langle\psi_1(x), \psi_2(x)\rangle = \langle \psi_1|\psi_2\rangle $$

参考資料

ベクトル空間 ベクトルと関数のおはなし